Q1

基本假设

• 回焊炉，在垂直于传送带上的截面上温度相同，回焊炉内形成一个稳定的一维温度场
• 不考虑热辐射的影响（注意措辞，比较tricky，最好别写成“假设没有热辐射”）
• 电子元件以及焊锡在水平方向上没有热量传递
• 热量在焊锡内部（在垂直方向：焊锡厚度）的传导均可视为一维热传导模型
• 每个小温区的温度视为常数

符号说明

\(v\quad 传送带速度\)

\(h(x)\quad 回焊炉内的稳定温度场\)

\(z\quad 锡焊厚度方向变量\quad (测温处z=0.075mm)\)

\(u(z,t)\quad 锡焊内部z处在t时刻的温度\)

\(c\quad 锡膏热容\)

\(\rho \quad 锡膏密度\)

\(k\quad 锡膏热传导率\)

\(h \quad 锡膏与空气的热交换系数\)

炉内一维稳定温度场

• 小温区温度恒定，间隔区域满足一维热传导方程

\[u_{t}=a^2u_{xx}\quad u(0)=u_0\quad u(l)=u_l\]

• 稳定与时间无关

\[u_{xx}=0 \quad u(x)=u_0+\frac{u_1-u_0}{l}x\]

• 所以回焊炉内部的温度是连续的折线

锡膏热传导 简单模型（无缘国奖类）

• 视锡膏为质点（不考虑厚度因素）

\[u(z,t)=u(t)\]

• 锡膏吸收的热量与环境温度和锡膏的温度差成正比

\[\int_{t_1}^{t_2}h(x)(f(t)-u(t))dt\]

• 锡膏热量的变化与锡膏时间段温差成正比

\[k(u(t_2)-u(t_1))\]

• 令\(t_2\to t_1\)，取极限可得

\[\frac{du}{dt}=k(f(t)-u(t))\]

\[u(0)=25\]

锡膏参数与温度相关，k不是常数，应该分段做拟合，根据不同温区进行参数拟合

锡膏z方向一维热方程

\[u_{t}(z,t)=a^2u_{zz}(z,t)\quad a^2=\frac{k}{c\rho}\quad l=0.015mm\]

\[-u_z(0,t)=h_1(f(t)-u(0,t))\quad 热方程第三类边界条件\quad h_1=h/k\]

\[u_z(l,t)=h_1(f(t)-u(l,t))\]

\[u(z,0)=25,\quad 0≤z≤l\quad 初值条件\]

数值求解（差分法）

\[u_{t}(z,t)=a^2u_{zz}(z,t)\quad (z,t)\in(0,l)\times (0,T)\]

将区间分成小区间，区间长度分为\(\Delta z,\Delta t\)，区间端点记为\(z_i,t_j\)，函数值记为

\[u(z_i,t_j)=u_{i,j}\quad f(t_j)=f_j\]

\[u_t(z_i,t_j)\approx \frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}\]

\[u_{zz}(x_i,t_j)\approx\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{(\Delta z)^2}\]

得到差分方程

\[\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}=a^2\cdot\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{(\Delta z)^2}\]

将该方程化为C-N隐格式：

\[\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{(u_{i-1,j}+u_{i-1,j+1})-2(u_{i,j}+u_{i,j+1})+(u_{i+1,j}+u_{i+1,j+1})}{(\Delta z)^2}\]

由第三类边界条件求端点温度

\[-\frac{u_{2,j+1}-u_{1,j+1}}{\Delta z}+h_1u_{1,j+1}=h_1f_{j+1}\]

得到

\[(1+h_1\Delta z)u_{1,j+1}-u_{2,j+1}=h_1f_{j+1}\Delta z\quad(左端点)\]

\[(1+h_1\Delta z)u_{m+1,j+1}-u_{m,j+1}=h_1f_{j+1}\Delta z\quad(右端点)\]

对于\(1<i<m\)，令\(r=\frac{a^2\Delta t}{(\Delta z)^2}\)，有

\[-0.5ru_{i-1,j+1}+(1+r)u_{i,j+1}-0.5ru_{i+1,j+1}=0.5u_{i-1,j}+(1-r)u_{i,j}+0.5ru_{i+1,j}\]

可以转化为线性方程组求解

\[\left(\begin{matrix}1+h_1\Delta z & -1 &&&\\-r&2(1+r)&-r&&\\&-r&2(1+r)&-r&&\\&&-r&2(1+r)&-r&\\&&&-1&1+h_1\Delta z\end{matrix}\right)_{(m+1,m+1)}\left(\begin{matrix}u_{1,j+1}\\u_{2,j+1}\\u_{3,j+1}\\u_{4,j+1}\\u_{5,j+1}\end{matrix}\right)\]

\[=\left(\begin{matrix} &&&&\\r&2(1-r)&r&&\\&r&2(1-r)&r&&\\&&r&2(1-r)&r&\\&&&&\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u_{1,j}\\u_{2,j}\\u_{3,j}\\u_{4,j}\\u_{5,j}\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}h_1f_{j+1}\Delta z\\ \\ \\ \\h_1f_{j+1}\Delta z\end{matrix}\right)\]

利用时间为0的温度初值求解下一时刻的温度

最小二乘法做参数拟合

由模型求得的温度记为\(u_i=u_i(a,h)\)，实验数据温度为\(\bar{u_i}\)

\[F(a,h)=\sum(u_i(a,h)-\bar{u_i})^2\]

优化模型为 \(\min F(a,h)\)

实验情况

采用粒子群算法，需要多次实验确定a,h范围，拟合分区情况如下

• 分成5个区：（1-5）、6、7、（8-9）与降温区（10-11），拟合效果好，最大温差3度左右

a,h不同区域取值	1-5	6	7	8-9	10-11
a	0.00067445	0.0007394	0.00088138	0.00071155	0.00050576
h	9351.90193919	6419.99175218	11016.59502516	9347.90126533	6863.18027028

位置	温度
小温区3中心	136.90℃
小温区6中心	170.04℃
小温区7中心	193.23℃
小温区8末端	226.46℃