中心差分法

问题提出

已知一系列的数据点\((x_i,y_i),i=1,2,\dots\)，且横坐标等间距，如何计算/估计一阶导数f'(x)以及二阶导数f''(x)？

一阶导数和二阶导数的二阶中心差分格式

• 假如从左至右一共有三个点\(A(x_0,y_0)，B(x_0+h,y_1)，C(x_0+2h,y_2)\)，如何利用点B及其左右一个点的坐标(共三个点的坐标)，来估计点B处一阶导数和二阶导数呢？

• 一阶导数的二阶中心差分格式

\[f'(x_0+h)=\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}\]

• 二阶导数的二阶中心差分格式

\[f''(x_0+h)=\left(\frac{f(x_0)-f(x_0+h)}{h}-\frac{f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{h}\right)/h\]

\[=\frac{f(x_0)-2f(x_0+h)+f(x_0+2h)}{h^2}\]