查漏补缺速记版

级数

级数是否收敛的判别方法

比值判别法

莱布尼茨判别法

收敛的分类

1. 绝对收敛：若\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)满足\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)收敛，则称\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)为绝对收敛
2. 条件收敛：若\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)发散，则称\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)为条件收敛，其中\(C\)为常数

幂级数

• 标准幂级数：\(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\)
• 一般幂级数：\(a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n\)

定理1（收敛半径）

幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收敛域\(J\)为以下情形之一

1. \(J=\{x_0\}\)或\(J=\{-\infty,+\infty\}\)
2. \(\exists R>0,s.t. (x_0-R,x_0+R)\subseteq J \subseteq [x_0-R,x_0+R]\)

此时称\(J\)区间的长度的一半为收敛半径，记作\(R\)。

定理2（收敛半径计算）

设\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)满足\(\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\rho\)，则该幂级数的收敛半径\(R=\frac{1}{\rho}\)。