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计算机中数的表示

无符号数

寄存器的位数反应无符号数的表示范围

有符号数

  • 真值：带符号的数

  • 机器数：符号数字化的数

+0.1011或0.1001
-0.1011
+1100或1100
-1100

非特殊说明，默认二进制表示
位数不是的倍数机器数一般比真值多一位符号位

  • 小数和整数在计算机中表示的一模一样？
  • 如何表示既有整数又有小数？

原码表示法

整数

带符号的绝对值表示

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小数

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0的原码？+0与-0原码不一样

补码表示法

例：从下午5点一直到凌晨3点，一共经过了多少个小时？

逆时针：有5-2=3

顺时针：有5+10=3+12

则-2可以用+10代替，称+10为-2（以12为模）的补数

一个负数加上“模”即得该负数的补数
正数的补数即为其本身

补码求原码快捷方式

  • 当真值为负时，补码除符号位外，每位取反，末位加1，即为该负数原码

例：\(x=-1010\)

有\(x_补=-0110\)

反码表示

  • 整数反码定义：
\[[x]_{反}\begin{cases}0,x&2^n>x≥0\\(2^{n+1}-1)+x&0≥x>-2^n(\text{mod}2^{n+1}-1)\end{cases}\]
  • 小数反码定义：
\[|x|_{反}=\begin{cases}x&1≥x≥0\\(2-2^{-n})+x&0≥x>-1(\text{mod}2-2^{-n})\end{cases}\]

三种机器数小结

  • 最高位为符号位，书写上用“，”（整数）或者“.”（小数）将数值部分和符号位分开
  • 对于正数：符号位为0，原码=补码=反码
  • 对于负数，补码\(\leftrightarrow\)原码的方法：
    • 原码除符号位外每一位取反，末尾加1\(\to\)补码
  • 当真值为负时，已知补码求原码方法：
    • 补码除了符号位之外，每位取反，末位+1
    • 补码除符号位外，末位-1，再每位取反

移码表示

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\[[x]_{移}=2^n+x(2^n>x≥-2^n)\]

x为真值，n为整数的位数

例：\(x=10100\)

\([x]_{移}=2^5+10100=1,10100\)

定点表示

  • 小数点按照约定方式标出

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小数点右移n位，实际上是让表示范围乘上\(2^n\)

浮点表示

浮点数一般形式

\[N=S\times r^j\]

\(S\)：尾数，\(j\)：阶码，\(r\)：基数
计算机中通常取\(2,4,8,16\)

  • 当\(r=2\)，\(N=11.0101=0.110101\times 2^{2}\)（规格化数）
  • 计算机中
    • \(S\)：小数、可正可负
    • \(j\)：整数、可正可负
j阶码 S尾数
\(j_f\) \(j_1j_2\dots j_m\) \(S_f\) \(S_1S_2\dots S_n\)
阶符 阶码数值部分 数符 尾数的数值部分

\(j_i,S_i\)取0或1

浮点数表示范围

  1. 上溢：阶码>最大阶码
  2. 下溢：阶码<最小阶码 按机器零处理

例：设机器数字长为24位，想表示±3万的十进制数，在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1位外，阶码数值、尾数数值各取几位？

\[2^{14}=16384\quad 2^{15}=32768\]

至少需要15位二进制数才能表示±3万之间的十进制数

\[2^{15}\times 0.xxx\dots xxx\]

\(m=4,n=18\)

浮点数的规格化

  • 基数不同，浮点数的规格化形式不同（类似科学计数法）

    • r=2，尾数最高位为1
    • r=4，尾数最高2位不全为0
    • r=8，尾数最高3位不全为0

  • 尾数和阶码保持不变的情况下，基数r越大，可表示的浮点数

    • 范围越大
    • 精度越低

二进制浮点数规格化

  • 二进制规格化数的定义
    • 1/2≤|S|<1
  • 规格化数的判断

机器判断方法：原码：不论正数、负数，第一数位为1；补码：符号位和第1，数位不同

二进制数规格化特例

\(S=-\frac{1}{2}\quad S=-1\)

IEEE 754标准

  • 减少符号位
  • 非 “0” 的有效位最高位为“1”（隐含）
S（数符） 阶码 尾数
  • 单精度（32-bit）

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  • 双精度（64-bit）

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单精度为例

指数 尾数 表示对象 换算方法
0 0 0 规定（符号位不同，存在+0.0和-0.0）
0 非0 正负非规格化数 正负非规格化数=\((-1)^{S}*(尾数_2)*2^{0-126}\)
S代表符号位，1为负数，0为正数
[1:254] 任意 正负浮点数 正负浮点数=\((-1)^{S}*(1+{尾数}_2)*2^{(指数-127)}\)
255 0 正负无穷 规定
255 非零 NaN 规定

尾数前+1？
这个1称为前导数。为了打包更多的位到数中，就在二进制表示中省略了前导数，默认小数点前有1（硬件自动附加1）

指数-127？
使用移码的思想，指数-127后，"实际"指数的范围是[-126,127]。二进制表示中的指数部分是无符号数，可以直接进行大小比较。如果两个数的符号相同，那么具有更大二进制指数的数就更大

例：将十进制-0.75转为单精度IEEE754浮点数

\(-0.75_{10}=-0.11_{2}\)

规格化：\(-0.11=-1.1*2^{-1}\)，能够规格化，说明是正负浮点表示

\[\begin{split}-1.1*2^{-1}=(-1)^S\times (1+尾数_2)\times2^{(指数-127)}\\(-1)^{1}\times(1+0.1_2)\times2^{126-127}\end{split}\]

符号位：1；指数部分：126；尾数部分：\(0.1_2\)

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IEEE 754浮点数转化工具

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