计算机中数的运算方法

算数移位与逻辑移位¶

算数移位¶

算数移位规则¶

符号位不变
机器数的移位与真值移位一致

正数移位均补0，负数原码均补0，负数补码高位补1，反码都补1

算数移位和逻辑移位的区别¶

算数移位：有符号数的移位
逻辑移位：无符号数的移位
- 逻辑左移：低位添0，高位丢弃
- 逻辑右移，高位添0，低位丢弃

例：补码表示的机器数10110010

逻辑左移：01100100	逻辑右移：01011001
算数左移：11100100	算术右移：11011001

例：设机器数字长8位（含1为符号位），当A=+26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式以及对应的真值

\[A=+26=+11010\]

则$[A]_原=[A]_补=[A]_反=0,0011010$

移位操作	机器数	对应的真值
无	0,0011010	+26
左移一位	0,0110100
右移一位	0,0001101
左移两位	0,1101000
右移两位	0,1100110

定点运算¶

定点加减法运算（补码）¶

加法
- 整数：$[A]_补+[B]_补=[A+B]_补$
- 小数：$[A]_补+[B]_补=[A+B]_补$
减法：$A-B=A+(-B)$
- 整数：$[A-B]_补=[A+(-B)_补]=[A_补]+[-B]_补$
- 小数：$[A-B]_补=[A+(-B)_补]=[A_补]+[-B]_补$

连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉

例：设A=0.1011，B=-0.0101，用补码运算求A+B=？

解答

已知$[X]_补$，可以通过：包括符号位在内，每位取反，末位加1求出$[-X]_补$

例：已知机器数长为8位（包含1位符号位），设A=15，B=24，用补码求解A-B

解答

例：已知机器数长为8位（包含1位符号位），设A=-97，B=41，用补码求解A-B

解答

有$[A]_补+[-B]_补=10,1110110=[A-B]_补$，有$A-B=+118$（溢出）

一位符号位判定溢出¶

参加加法的两个数（减法时+减数相反数的补码）
- 如果符号不同，不会溢出
- 如果符号相同，其结果的符号与原操作数的符号不同，即为溢出

\[\begin{cases}最高有效位进位\oplus 符号位进位=1&溢出\\最高有效位进位\oplus 符号位进位=0&不溢出\end{cases}\]

两位符号位判断溢出¶

小数变形补码
整数变形补码
最高符号位代表其真正的符号
结果的双符号位相同 未溢出
结果的双符号位不同溢出

设机器数字为9位（含2位符号位），且$A=-97，B=41$，用补码求$A-B$

解答

乘法运算¶

原码一位乘法运算规则¶

整数：设$[X]_原=X_nX_{n-1}\dots X_1X_0,[Y]_{原}=Y_nY_{n-1}\dots Y_1Y_0$

\[[X\times Y]_原=(X_n\oplus Y_n)(0X_{n-1}\dots X_1X_0\times 0Y_{n-1}\dots Y_1Y_0)=(X_n\oplus Y_n)(|X|\times |Y|)\]

小数：设$[x]_原=x_0\cdot x_1x_2\dots x_n,[y]_原=y_0\cdot y_1y_2\dots y_n$

\[[x\times y]_原=(x_0\oplus y_0)\cdot(0.x_1x_2\dots x_n\times 0.y_1y_2\dots y_n)=(x_0\oplus y_0)(|x|\times|y|)\]

乘积的符号位单独处理，数值部分为绝对值相乘

补码一位乘法运算规则（小数）¶

设被乘数$[x]_补=x_0\cdot x_1x_2\dots x_n$，乘数$[y]_补=y_0\cdot y_1y_2\dots y_n$

被乘数任意，乘数为正（类似原码乘）
- 但加和移位按补码规则运算，积的符号自然形成
被乘数任意，乘数为负
- 乘数$[y]_补$，去掉符号位，操作同上，最后加上$[-x]_补$，校正

\[\begin{split}[x]_补\times [y]_补=[x]_补\times(1.0_1\dots 0_n + 0.y_1y_2\dots y_n)_补 \\ =[x]_补\times[0.y_1y_2\dots y_n]_补-[x]_补\\ =[x]_补\times [0.y_1y_2\dots y_n]_补+[-x]_补 \end{split}\]

补码一位乘法运算规则（整数）¶

设被乘数$[X]_补=X_n\dots X_1X_0$,乘数$[Y]_补=Y_n\dots Y_1Y_0$

被乘数任意，乘数为正（类似原码乘），但加和移位按补码规则运算，积的符号自然形成
被乘数任意，乘数为负，乘数$[y]_补$，去掉符号位，操作同上，最后加$[–x]_补$，校正

\[\begin{align*}&[X]_补\times [Y]_补=[X]_补\times [10_1\dots 0_n+0Y_{n-1}\dots Y_1Y_0]_补 \\ &=[X]_补\times [0Y_{n-1}\dots Y_1Y_0]_补+(-2^n)[X]_补 \\ &=[X]_补\times [0Y_{n-1}\dots Y_1Y_0]_补+2^n[-X]_补 \end{align*}\]

booth算法（小数，被乘数、乘数符号任意）¶

设x和y的补码表示分别为$[x]_补=x_0.x_1x_2\dots x_n,[y]_补=y_0.y_1y_2\dots y_n$

\[\begin{align*}&[x\times y]_补=[x]_补\times[0.y_1y_2\dots y_n+y_0.0_10_2\dots 0_n]_补 \\ &=[x]_补(0.y_1y_2\dots y_n)+ [x]_补\times (-y_0)\\&=[x]_补[-y_0+(y_1 2^0-y_1 2^{-1})+(y_2 2^{-1}- y_2 2^{-2})+\dots+(y_n2^{-(n-1)}-y_n2^{-n})] \\&=[x]_补[(y_1-y_0)+(y_2-y_1)2^{-1}+\dots+(y_n-y_{n-1})2^{-(n-1)}+(y_{n+1}-y_{n})2^{-n}]\\&=(y_1-y_0)[x]_补+2^{-1}\{(y_2-y_1)[x]_补+2^{-1}\{(y_3-y_2)[x]_补\dots+2^{-1}\{y_{n+1}-y_n\}\dots\}[x]_补+0\}\}\end{align*}\]

booth小数算法递推公式

booth算法（整数，被乘数、乘数符号任意）¶

设X和Y的补码表示分别为$[X]_补=X_n,X_{n-1}\dots X_0,[Y]_补=Y,Y_{n-1}\dots Y_0$

\[\begin{align*}& [X\times Y]_补=[X]_补[0Y_{n-1}\dots Y_0+Y_n0_{n-1}0_{n-2}\dots 0_0]_补\\ & =[X]_补(0Y_{n-1}\dots Y_0)+[X]_补\times [Y_n0_{n-1}0_{n-2}\dots 0_0]_补 \\ & =2^n*([X]_补(Y_{n-1}2^{-1}+Y_{n-2}2^{-2}+\dots +Y_02^{-n})+[X]_补\times[Y_n0_{n-1}0_{n-2}\dots 0_0]_补)\\&=2^n*(Y_{n-1}-Y_n)[X]_补+2^{-1}\{2^n*(Y_{n-2}-Y_{n-1})[X]_补+2^{-1}\{2^n(Y_{n-3}-Y_{n-2})[X]_补\dots + 2^{-1}\{2^n*(Y_{-1}-Y_0)[X]_补+0\}\dots \}\}\end{align*}\]

booth整数递推公式