代数运算、运算律

代数运算¶

集合\(M\)上的一个法则\(\circ\)，若对于集合上的每一组有序对\(a,b\in M\)，总存在唯一的\(d\in M\)，使得\(a\circ b=d\)

那么，这样一个法则\(\circ\)就被称为集合M上的代数运算

记\(T(M)\)为集合M上所有变换构成的集合，那么法则“变换乘法/变换合成”将会是这个集合上的一个代数运算

证明：

\[\sigma,\tau\in T(M),\forall x\in M\quad \sigma\tau(x)=\sigma(\tau(x))\]

\[\sigma\tau\in T(M)\quad \sigma\circ\tau=\sigma\tau\]

\[\sigma\epsilon(x)=\epsilon\sigma(x)=\sigma(x),\forall x \in M \quad for \quad \forall \sigma\in T(M)\]

\[\sigma\epsilon=\epsilon\sigma=\sigma\]

\[S(M)\subseteq T(M),\forall \phi \in S(M),\phi是一个双射变换\]

“变换乘法”也是这个集合\(S(M)\)上的一个代数运算

例：给出自然数集N上的两个不同双射变换\(\sigma\)，\(\tau\)，s.t. \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\)

\[\sigma:\quad 1\to2,2\to1\quad x\to x\]

\[\tau:\quad 1\to3,3\to1\quad x\to x\]

集合M上的代数运算，对集合上任意三个元素\(\forall a,b,c\in M\)，都有以下等式成立:

\[(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\]

并非所有集合上的代数运算都满足结合律

如：\(a\circ b=ab+1\)

例：变换乘法满足结合律

\(\forall \sigma,\tau,\phi\in T(M),\forall x\in M\)

\[[(\sigma\tau)\phi](x)=(\sigma\tau)(\phi(x))=\sigma[\tau(\phi(x))]\]

\[[\sigma(\tau\phi)](x)=\sigma[(\tau\phi)(x)]=\sigma[\tau(\phi(x))]\]

集合M, 如果其上的代数运算\(\circ\)满足结合律，则对M上任意n(n≥3)个元素无论如何加括号, 其结果都一样

证明(数学归纳法)

......

集合M上的代数运算\(\circ\)，如果对于\(\forall a,b\in M\)，都有

\[a\circ b=b\circ a\]

集合M上的代数运算\(\circ\)，若它既满足结合律又满足交换律，那么任意的n个集合中的元素任意的结合（加括号）和交换位置的前后顺序，其所得的结果都一样

证明(数学归纳法)

......

集合M上的两个代数运算\(\circ\)和\(\oplus\)，如果对\(\forall a,b,c\in M\)，总有

\[a\circ(b\oplus c)=(a\circ b)\oplus(a\circ c)\]

\[(b\oplus c)\circ a=(b\circ a)\oplus(c\circ a)\]

例：给出集合\(M=\{1,2,3\}\)上既满足结合律又满足交换律的一个代数运算；再给出其上满足交换律但不满足结合律的一个代数运算

\(a\circ b=\max(a,b)\)

满足交换律，不满足结合律

若代数运算满足交换律，则该代数运算“乘法表”对应的矩阵为对称矩阵