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同态和同构

同态

定义

集合M上有代数运算\(\circ\)，集合\(\overline{M}\)上有代数运算\(\bar{\circ}\)，若存在映射\(\phi,\phi:M\to \overline{M}\)，若满足：

\[\phi:a\to\bar{a}\quad b\to \bar{b}\]
\[\phi: a\circ b\to \bar{a}\bar{\circ}\bar{b}\]

即\(\overline{a\circ b}=\bar{a}\bar{\circ}\bar{b}\) 或 \(\phi(a\circ b)=\phi(a)\bar{\circ}\phi(b)\)

则称\(\phi\)是代数系统\(M\)到\(\bar{M}\)的一个同态映射，若其为一个满射，则称代数系统\(M\)与\(\bar{M}\)同态，记作

\[M\sim\overline{M}\]

例：\(\circ\)是数域F上全体n阶方阵的集合\(M\)上的矩阵乘法代数运算, 是数域\(F=\overline{M}\)上的普通数乘代数运算

\(\phi:\quad M\to\overline{M}\quad \phi:A\to|A|\)

问\(\phi\)是不是一个同态映射？

\(|AB|=|A|\cdot|B|\quad \phi(AB)=\phi(A)\cdot\phi(B)\)

同时也是一个满射

得\(M\sim\overline{M}\)（\(M\)与\(\overline{M}\)同态）

定理1

代数系统\(M\)和\(\overline{M}\)分别有代数运算\(\circ、\bar{\circ}\)，若\(M\)~\(\overline{M}\)，有以下结论成立

  1. \(\circ\)满足结合律, 那么\(\bar{\circ}\)也满足结合律。
  2. \(\circ\)满足交换律, 那么\(\bar{\circ}\)也满足交换律。

定理2

\(\circ\)和\(\oplus\)是代数系统\(M\)上的两个代数运算,\(\bar{\circ}\)和\(\bar{\oplus}\)是代数系统\(\overline{M}\)上的两个代数运算，\(\phi\)是\(M\)到\(\overline{M}\)的一个满射，且对 \(\circ\)和\(\oplus\)，\(\bar{\circ}\)和\(\bar{\oplus}\)同态；那么如果\(\circ\)关于\(\oplus\)满足左（右）分配律那么\(\bar{\circ}\)对\(\bar{\oplus}\)也将满足左（右）分配律

同构

定义

\(\phi\)是代数系统\(M\)到\(\overline{M}\)关于代数运算\(\circ\)和\(\bar{\circ}\)的同态满射，如果\(\phi\)同时一个单射，那么它就是\(M\)到\(\overline{M}\)的一个同构映射。称\(M\)与\(\overline{M}\)同构，记为：

\[M\cong \overline{M}\]
  • 如果没有这种同构映射，则称\(M\)与\(\bar{M}\)不同构。
  • \(M\)到其自身的同态映射叫做\(M\)的自同态映射，简称为\(M\)的自同态。
  • \(M\)到其自身的同构映射叫做\(M\)的自同构映射，简称为\(M\)的自同构。

常见同构映射: \(I(x)\)恒等映射

例：\(M=Z\)，\(\bar{M}\)是偶数集，\(\phi\to2n\)，是否构成他们之间的同构映射？

一定要对运算来讲，仅讨论两个集合无意义

性质

  • 自反性 \(M\cong M\)
  • 对称性 \(M_1\cong M_2\quad M_2\cong M_1\)
  • 传递性 \(若M_1\cong M_2\quad M_2\cong M_3 \quad 则 M_1\cong M_3\)

若\(\phi_1\)是\(M_1\cong M_2\)的同构映射，那么\(\phi^{-1}\)就是\(M_2\cong M_1\)的同构映射
若\(\phi_1\)是\(M_1\cong M_2\)的同构映射，\(\phi_2\)是\(M_2\cong M_3\)的同构映射，那么\(\phi^{3}=\phi_1\phi_2\)就是\(M_1\cong M_3\)的同构映射

例：集合M上有代数运算\(\circ\)，集合\(\overline{M}\)上有代数运算\(\bar{\circ}\)，\(M\)与\(\overline{M}\)同态