循环群、变换群

定义¶

设M是群G中的一个非空子集，G中包含M的子群总是存在，所有包含<M>的子群的交记为。则<M>仍为群G的一个子群，且G中任何一个子群只要包含M就会包含<M>。所以<M>是群G中包含M的最小子群

生成系¶

定义1：称<M>为群G中由子集M生成的子群，并把M叫做这个子群的生成系

一个群或子群可能有很多的生成系，甚至可以是无限多个生成系
集合M的元素可以是无限个，也可以是有限个

循环群¶

定义2：如果群G可以由一个元素a生成，即\(G=<a>\)，则称G为由a生成的一个循环群，并称a是G的一个生成元

于是，\(<a>\)是由一切形如

\[a^k（a是任何整数）\]

的元素作成群，如\(<a>=\{\dots,a^{-2},a^{-1},e,a^1,a^2\dots\}\)

循环群必为交换群

例：整数加群Z为无限循环群，n次单位根群\(U_n\)是一个n阶循环群

\[U_n=<\epsilon>=\{1,\epsilon,\epsilon^2\dots,\epsilon^{n-1}\}\]

这n个复数互异，对于任意整数k，\(\epsilon^k\)必与这n个中的一个相等

定理1¶

设G=<a>为任一循环群

则当\(|a|=\infty\)，\(G=<a>=\{\dots,a^{-2},a^{-1},e,a^1,a^2\dots\}\)为无限循环群，并且和整数加群同构

当\(|a|=n\)，\(G=<a>=\{e,a^1,a^2\dots a^{n-1}\}\)是n阶循环群，且与n次单位根群\(U_n\)同构

推论1¶

n阶群G是循环群\(\Leftrightarrow n阶群G有n阶元素\)

n阶循环群的元素是不是生成元，就看它的阶数是不是n

定理2¶

无限循环群\(<a>\)有两个生成元，即\(a\)和\(a^{-1}\)，n阶循环群有\(\phi(n)\)个生成元，其中\(\phi(n)\)为Euler函数

定理3¶

循环群的子群仍然是循环群

设H为循环群\(<a>\)的一个子群，这个循环群由H中\(a^{最小的a的正数次幂m}\)生成

定理4¶

无限循环群G有无限多个子群；当\(G=<a>\)为n阶循环群时，对n的每个正因数k，G中有且只有一个k阶子群，这个子群为\(<a^{n/k}>\)

推论2¶

n阶循环群有且仅有T(n)个子群

变换群¶

定义1¶

设M是一个非空集合。则由M的一些变换关于变换的乘法所作成的群，称为M的一个变换群；由M的若干个双射变换关于变换乘法作成的群，称为M的一个双射变换群；由M的若干个非双射变换关于变换乘法作成的群，称为M的非双射变换群

例：设|M|>1，取定\(a\in M\)，得：

\[\tau: x\to a(\forall\in M)\]

是M的一个非双射变换，且\(\tau^2=\tau\)，有\(G={\tau}\)作成M的一个非双射变换群

设M为任一非空集合，为由M的全体双射变换作成的集合。则关于变换的乘法作成一个群

定义2¶

称集合M的双射变换群S(M)为M上的对称群，当|M|=n，其上的对称群用\(S_n\)表示，并称为n元对称群。

设G是集合M的一个变换群，则

G是双射变换群\(\Leftrightarrow\)G中含有M的单（满）射变换

推论¶

设G是集合M的一个变换群，则

\[G是双射变换群\Leftrightarrow G包含恒等变换\]

定理3（A.Cayley,1821-1895）¶

任何一个群都与一个(双射)变换群同构

证明：设G是任意一个给定的群，任取\(a\in G\)，并令

\[\tau_a:x\to axs(\forall x\in G)\]

即\(\tau_a(x)=ax\)，则\(\tau_a\)是G的一个双射变换

推论2¶

任何n阶有限群都对n元对称群\(S_n\)的一个子群同构

变换群，特别是n元对称群是一种相对具体的群。以上定理、推论表明任何一个抽象的群都可以找到一个具体的群与它同构。也就是说除了元素不同外，其代数性质完全一致