正规子群、商群
正规子群¶
定义1¶
设N是群G的一个子群。如果对G中每个元素a都有
则称N是G的一个正规子群
正规子群的任何一个左陪集都是一个右陪集，因此简称为陪集。
- 任意一个群G都至少有其平凡子群\(\{e\}\)和G本身是其正规子群，称为G的平凡正规子群，G的其他正规子群若存在称为G的非平凡正规子群
- 任何一个群G的中心都是正规子群，有\(C \trianglelefteq G\)
- 若\(N\trianglelefteq G 又有 N\neq G，记为 N \triangleleft G\)
例：\(N=\{(1),(123),(132)\}\)是三元对称群\(S_3\)的一个正规子群，但是\(S_3\)的三个子群
都不是\(S_3\)的正规子群
对\(S_3\)中任意元素\(\sigma\)有\(\sigma N\sigma^{-1}=\{(1),\sigma (123)\sigma^{-1},\sigma(132)\sigma^{-1}\}=N\)
定理1¶
设群是G，N≤G，则\(N\trianglelefteq G\Leftrightarrow aNa^{-1}\subseteq N(\forall a \in G)\)
必要性显然
充分性证明：设对G中任意元素a有\(aNa^{-1}a\subseteq Na\)，即\(aN\subseteq Na\)
又由于\(a^{-1}Na\subseteq N\)可得\(Na\subseteq aN\)因此\(aN=Na\)，即\(N\trianglelefteq G\)
例：n元交代群\(A_n\)是n元对称群\(S_n\)的一个正规子群
证明：任意的n元置换\(\sigma\)与其逆\(\sigma^{-1}\)具有相同的奇偶性从而易知：\(\sigma A_n \sigma^{-1}\subseteq A_n\)，故\(A_n\trianglelefteq S_n\)
正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群。即，正规子群不具有有传递性
定理2¶
设\(\phi\)是群G到群\(\bar{G}\)的同态满射，则
- \(N为G正规子群\Rightarrow \phi(N)\trianglelefteq\bar{G}\)
- \(\bar{N}为\bar{G}正规子群\Rightarrow \phi^{-1}\trianglelefteq (N)G\)
定理3¶
群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群；两个正规子群的乘积仍是一个正规子群
陪集乘法¶
设N是群G的一个正规子群，任取二陪集aN和bN，根据群中子集乘法有
即\((aN)(bN)=(ab)N\)
- 群G关于N的陪集集合在陪集乘法下构成一个代数系统（也可以说陪集乘法是全体陪集的一个代数运算）
定理4¶
群G的正规子群N的全体陪集对于陪集乘法作成一个群，称为G关于N的商群，记为\(G/N\)
证明：首先陪集满足乘法结合律
其次，考虑单位元和逆元的存在问题，N为单位元显然
由于\((a^{-1}N)(aN)=a^{-1}aN=N\)
所以\(a^{-1}N\)是\(aN\)的逆元
\((aN)^m=a^mN(\forall m \in Z)\)
\(|G/N|=(G:N)\)
定理5¶
设G是一个pn阶有限交换群，其中p是一个素数，则G有p阶元素，从而有p阶子群
实际上，当G不是交换群的时候仍然成立
定义2¶
每个子群都是正规子群的非交换群，称为哈密顿群
例： 四元数群\(G=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}\)（四元数群：）
首先G是非交换群，其次G的真子群只有\(<-1>,<i>,<j>,<k>\)
\(<-1>\trianglelefteq G\)
令\(N=<i>,x\in G=\{1,-1,i,-i\}\)
有\(\forall x\in G\)，有\(xN=Nx\)，则\(N\triangleleft G\)
同理\(<j>,<k>\)也是G的正规子群，所以G为哈密顿群
定义3¶
阶大于1只有平凡正规子群的群，称为单群
定理6¶
有限交换群G为单群的充要条件是，|G|为素数