环

环的定义¶

数、多项式、函数、矩阵和线性变换——有两个代数运算
有两个代数运算的代数系统中，最基本最重要的就是环和域
从加群产生
- 可交换群，运算用\(+\)表示
- 单位元称为零元，用\(0\)表示
- 元素\(a\)的逆元用\(-a\)表示，称为负元
- 若把\(a+(-b)\)简记为\(a-b\)，那么加群中就有了一个减法，他是加法的逆运算
- 乘群的指数运算规则在加群中自然改为倍数规则
  - \(0a=0\)
  - \(na=a+a+a+\dots\)
  - \((-n)a=n(-a)=(-na)\)
- 对任意整数m,n，又有
  - \(ma+na=(m+n)a\)
  - \(m(na)=(mn)a\)
  - \(n(a+b)=na+nb\)
- 加群的非空子集\(H\)能作成子群的充要条件改写为
  - \(a,b\in H\Rightarrow a+b\in H\)
  - \(a\in H\Rightarrow -a\in H\)

定义1¶

设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法（一般用+表示），另一个叫做乘法，如果

R对加法作成一个群
R对乘法满足结合律\((ab)c=a(bc)\)
乘法对加法满足左右分配律\(a(b+c)=ab+ac,\quad (b+c)a=ba+ca\)

其中\(a,b,c\in R\)，则称R对这两个代数运算做成一个环

数环都是环，数域F上的全体多项式的集合F[x]，数域F上的全体n阶方阵的集合以及数域F上的一个向量空间的全体线性变换的集合，对各自的加法和乘法都作成环

若环R的乘法满足交换律，即对R中任意元素a，b都有\(ab=ba\)，那么称R为交换环
若环R有有限个元素称为有限环，否则称为无限环；对应R的阶为有限环的元素个数，无限环阶无限，阶记为\(|R|\)

例：R是一个加群，再对R中的任意元素a，b规定\(ab=0\)

显然整个R作成一个环，称为零环

例：R为整数集，证明R对以下二元运算作成环

\[a\oplus b=a+b-1\quad a\circ b=a+b-ab\]

证明：首先，R关于\(\oplus\)作成一个群，满足结合律、封闭性，有单位元1，\(\forall x \in R\)，都有逆元\(1-x\)

接着证明\(\circ\)满足结合律与左右分配律：\(a(bc)=(ab)c\quad a\circ(b\oplus c)=(a\circ b)\oplus(a\circ c)\)

且乘法下可交换，所以R在两个代数运算下构成交换环

定义2¶

如果环R中有元素e，它对R中每个元素a都有\(ea=a\)，则称e为R的一个左单位元，如果环R中有元素e'，使得它对R中每个元素a都有\(ae'=a\)，则称为这个环R的右单位元

既是左单位元又是右单位元的元素，叫做R的单位元

环对乘法作成半群，环的左右单位元或单、位元也是此半群的左右单位元或单位元

如果环R有单位元，那么是唯一的，一般用1表示

一个环可能既没有左单位元也没有右单位元，比如偶数环；也有可能只有左单位元没有右单位元，或者相反

例：有左单位元但没有右单位元；数域F上一切形如\(\left(\begin{matrix}a&b\\0&0\end{matrix}\right)(\forall a,b\in F)\)的方阵作成环，\(\left(\begin{matrix}1&x\\0&0\end{matrix}\right)(\forall x\in F)\)都是左单位元，但是没有右单位元

此外，引入环中元素正整数次幂的概念

\[a^n=aa\dots a\]

如果有单位元则\(a^0=1\)
若有逆元则\(a^{-n}=(a^{-1})^n\)

通常的指数运算规则成立，但是由于环的乘法不一定可交换，所以下列的运算不一定成立

\((ab)^n=a^nb^n,(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

定义3¶

设S是环R的一个非空子集，如果S对R的加法与乘法也作成一个环，则称S是R的一个子环，记为\(S≤R\)或\(R≥S\)

定理1¶

环R的非空子集S作成子环的充要条件是

\[\begin{align}a,b\in S\Rightarrow a-b\in S\\a,b\in S\Rightarrow ab\in S\end{align}\]

S与R¶

单位元无特定关系：当R有单位元时，S不一定有，当S有单位元时，R不一定有，即使二者都有单位元，也不一定相等
一个环关于其加法作成一个加群，用\((R,+)\)表示，并称其为环R的加群，如果\((R,+)\)是一个循环群，那么环R是一个循环环。即若\((R,+)=<a>\)，则循环环R可以表示为

\[R=\{\dots,-2a,-a,0,a,2a，\dots\},a^2=ka,k\in Z\]

若a在加群的阶为n，则R可表示为

\(R=\{0,a,2a,\dots, (n-1)a\},a^2=ka,0≤k≤n-1,k\in Z\)

整数环是一个无限循环环

循环环必是交换环

循环环子环也是循环环

循环环不一定有单位元

定理2¶

素数阶环，更一般地，阶为互异素数之积的有限环必为循环环，

其他的环：
- 非结合环
- 拟环（乘法不要求可交换）
- 半环（加法只要求做成半群）

环的零因子¶

定义1¶

设\(a\neq 0\)是环R的一个元素，如果R中存在元素\(b\neq 0\)使得\(ab=0\)，称\(a\)为环R的一个左零因子，同样可以定义环R的一个右零因子

左右零因子统称为零因子

例：设R为一切形如\(\left(\begin{matrix}x&0\\y&0\end{matrix}\right)(x,y\in Q)\)的方阵的普通加法和乘法作成的环则\(\left(\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}\right)\)是R的一个左零因子

数环以及数域上的多项式环，都没有零因子

在无零因子的环中，关于乘法的消去律成立

定义2¶

阶大于1、有单位元且无零因子的交换环称为整环

定义3¶

若环R的元素（对加法）有最大阶n，则称n为环R的特征（或特征数）

若环R的元素（对加法）无最大阶，则称R的特征是无限（或零）