等价关系与集合分类

定义

集合\(M\)上有一个法则\(R\)，如果对与\(M\)上的任意一堆元素a和b总能判断出是否满足关系\(R\)，那么称R为集合\(M\)上元素之间的一个关系

\[aRb\quad a\overline{R}b\]

例：有理数集\(Q\)，法则\(R\)定义如下，判断它是否是\(Q\)的一个关系？

\[aRb\Leftrightarrow a+b\in Z\]

等价关系

若集合\(M\)上的一个关系\(R\)满足以下三个条件

• 若\(\forall a\in M\)，总有\(aRa\)
• 若\(aRb\)，那么\(bRa\)
• 若\(aRb,bRc\)，那么\(aRc\)

则称关系\(R\)是集合\(M\)的一个等价关系

记作\(\sim\)，\(a\sim b\)就表示a与b等价

常见等价关系：模n同余\(aRb\Leftrightarrow a \equiv b(\text{mod}n)\)

分类

定义

若把集合\(M\)的全体元素分成若干个互不相交的子集 (i.e.,任二子集之间没有公共元素), 则称每一个子集\(M\)的一个类, 类的全体叫做\(M\)的一个分类 。

定理1

集合\(M\)的一个分类，决定了集合\(M\)的一个等价关系

\[aRb\Leftrightarrow a,b\in one \quad class\]

定理2

集合\(M\)的一个等价关系决定了集合M的一个分类

证明：（根据分类的定义证明）......