置换群
- 最早被研究的群
- 每个有限的抽象群都和一个置换群同构
定义1¶
n元对称群\(S_n\)的任意一个子群，都叫做一个n元置换群，简称为置换群。
研究有限集合置换，集合中的元素不重要。常表示为1,2,3,...n,并且一般都设n>1
定义2¶
一个置换\(\sigma\)如果把数码\(i_1\)变成\(i_2\)，\(i_2\)变成\(i_3,\dots,i_{k-1}\)变成\(i_k\)，又把\(i_k\)变成\(i_1\)，但别的数码都不变，则称\(\sigma\)是一个k-轮换，简称为轮换（循环），并表示成
恒等轮换称作1-轮换，记为
2-轮换简称为对换，无公共数码的轮换称为不相连轮换。
定理1¶
不相连轮换相乘时可以交换。
定理2¶
每个（非轮换）置换都可表为不相连轮换之积；每个轮换都可表为对换之积；因此，每个置换都可表为对换之积
任何一个置换都可以把构成一个轮换的所有数码按连贯顺序紧靠在一起，而把不动的数码放在最后
k-轮换的一种拆分为对换乘积的方式：
定理3¶
每个置换表示成对换乘积时，其对换个数的奇偶性不变。
证明:置换的奇偶性是唯一确定的。
假设有一个置换π，它可以以奇数个对换表达，也可以以偶数个对换表达。考虑以最少对换数表达π的两种方式：π=τ1τ2...τn和π=σ1σ2...σm，其中n是奇数，m是偶数。
现在考虑置换ππ⁻¹=ε（恒等置换），按照对换序列表示为： τ1τ2...τnσm⁻¹...σ2⁻¹σ1⁻¹=ε 由于τ和σ的逆仍是对换，上式左侧是n+m个对换的乘积。
因为ε为偶置换（恒等置换），所以n+m必须为偶数，而这与n为奇数且m为偶数的假设矛盾。因此，π的奇偶性是唯一确定的。
定义3¶
一个置换若分解成奇数个对换的乘积，则称为奇置换；否则称为偶置换
特别地，恒等置换为偶置换
n元对称群\(S_n\)中奇偶置换各占一半\(\frac{n!}{2}\)，又因为任意两个偶置换乘积为偶置换，所以\(S_n\)中所有偶置换作成一个\(\frac{n!}{2}\)阶子群，记为\(A_n\),称为n元交代（交错）群；
任何置换群在奇偶性上都有这一特性
例：证明
作成交代群\(A_4\)的一个子群，这个群（和与其同构的群）称为Klein四元群
- 对置换乘法封闭
- 存在单位元
- 任意其他三个中的一个置换阶数为2（逆元为其本身）
- 结合律继承\(A_4\)
定理4¶
k-轮换的阶数是k；不相连轮换乘积的阶为各因子阶的最小公倍数
定理5¶
设有n元置换\(\tau=\left(\begin{matrix}1&2&\dots&n\\t_1&t_2&\dots&t_n\end{matrix}\right)\)，对任意n元置换\(\sigma\)，有