群、元素的阶、子群

定义¶

非空集合G是他的一个代数运算，如果满足以下条件：

结合律成立

\[(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\]

G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中的每个元素a都有

\[e\circ a=a\]

对G中每个元素a，在G中都有元素$a^{-1}$叫做a的左逆元，使得

\[a^{-1}\circ a=e\]

交换群（Abel群）¶

定义：如果对G中任意两个元素a，b有

\[a\circ b=b\circ a\]

即G的代数运算满足交换律，则称G为交换群（可换群）或Abel群；否则称其为非交换群（非可换群）或非Abel群

整数集$Z$对于数的普通加法显然做成了一个交换群0是它的单位元，整数-a是整数a的左逆元

例：设G为整数集，问：G对运算$a\circ b=a+b+4$是否成群？

一般来说：对于一个集合，要考察它是否成群，不仅要注意它的元素是什么，更应该注意它的代数运算是什么，同一个集合，对这个代数运算可能作成群，但是对另外一个代数运算却不一定，即使对两个不同的代数运算都可以作成群，一般来说都被认为是两个不同的群

群的阶¶

定义：一个群G中包含元素的个数为n，则称n为群G的阶，记为$|G|=n$，无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正数

如$|G|>1$，G既可能是阶大于1的有限群，也有可能是无限群

例：全体n次单位根，对于数的普通乘法作成一个群，这个群记作$U_n$，并称作n次单位根群

n次单位根：n次单位根是复数域上的特殊数，它们是满足以下方程的复数解：
$z^n=1$
其中，n是正整数。解这个方程得到的复数就是n次单位根。解通常以极坐标形式表示，即
$z^k=e^{2\pi i k/n}$

性质¶

定理1¶

群G的左单位元也是右单位元，并且是唯一的

定理2¶

群G中任意元素a的左逆元$a^{-1}$也是右逆元，并且唯一

推论1¶

在群中消去律成立，即

\[ab=ac\Rightarrow b=c\]

\[ba=ca\Rightarrow b=c\]

两边分别左乘、右乘$a^-1$即可证明

半群¶

定义：设$S$是一个非空集合，如果他有一个代数运算满足结合律，则称S是一个半群

如果半群$S$中有元素$e$，它对$S$中的任意元素a都有

\[ea=a\]

则称$e$为半群的一个左单位元；如果在$S$中有元素$e'$，它对$S$中的任意元素a都有

\[ae'=a\]

则称$e'$为半群的一个右单位元

如果一个半群$S$有单位元（既是左单位元又是右单位元），则称$S$为有单位元的半群，或简称为幺半群（monoid）

性质¶

在一个半群中，可能既没有左单位元，也没有右单位元；可能只有左单位元，而没有右单位元；也可能只有右单位元，而没有左单位元。但是，如果既有左单位元又有右单位元，则二者必相等，它就是半群的唯一的单位元

如正整数集对普通乘法作成一个半群，而且是一个幺半群，1是单位元

定理¶

定理3¶

设G是一个半群，则G作成群的充要条件是，对G中任意元素a，b方程

\[ax=b\quad ya=b\]

在G中都有解

证明：必要性：若G作成群则任意元素都有逆元存在，故有方程解

\[x=a^{-1}b\quad y=ba^{-1}\]

充分性：首先，对任意的固定元素$b\in G$，由于上述两个方程总有解，则存在$e$使得$eb=b$，而对于$\forall a\in G$，有$bx=a$总有解$c$，于是$bc=a$

\[ea=e(bc)=(eb)c=bc=a\]

即，$e$是G的左单位元

而$ya=e$对于$\forall a\in G$均有解，则解即为a的左逆元。即任意G中元素有左逆元

推论2¶

有限半群G作成群的充要条件是，在G中两个消去律成立

证明：必要性：消去律为

\[ab=ac\Rightarrow b=c\]

\[ba=ca\Rightarrow b=c\]

若G作成群，则上下式分别左乘和右乘一个$a^{-1}即可自然得到结论成立

充分性：设$|G|=n$且$G=\{a_1,a_2,\dots\}$，在G中任取两个元素a，b，若半群满足消去律必有

\[b\in G=\{aa_1,aa_2,\dots,aa_n\}\]

即方程$ax=b$在G中总是有解的，同理可证$ya=b$在G中也是有解的，根据定理3可以证明有限半群G作成群

充分利用“有限”和“消去律”；要求群G是有限的是必要的，如正整数集对乘法作成半群，满足消去律，但是它是无限集，不能作成群。

注：

如果一个交换群的代数运算用加号“+”表示，常称其为一个加群。单位元用0表示，并称为G的零元；元素a的逆元用-a表示，并称为a的负元。
例如：整数加群、有理数加群…
以后的讨论中不管群是否可交换，都常用乘号或者省略这个乘号，并仍称为乘法

群中元素的阶¶

任取$a\in G$，n是一个正整数

\[a^0=e,a^n=aa\dots a\]

\[a^{-n}=(a^{-1})^n=a^{-1}a^{-1}\dots a^{-1}\]

则不难推出常见的运算规则在群中也成立，其中m，n为任意整数

\[a^ma^n=a^{m+n}\quad (a^m)^n=a^{mn}\]

阶¶

定义1¶

设a为群G的一个元素，使$a^n=e$的最小正整数n，叫做元素a的阶

如果这样的阶不存在，称a的阶为无限。元素a的阶常用$|a|$来表示

$G=\{1,-1,i,-i\}$（i是虚数单位），关于数的普通乘法做成一个群，即4次单位根群，其中1的阶是1，-1的阶是2，i和-i的阶都是4
正有理数乘群$Q^+$中，除了单位元的阶是1外，其余元素的阶均为无限

定义2¶

若群G中每个元素的阶都有限，则称G为周期群；若G中除单位元e外，其余元素的阶均无限，则称G为无扭群；既不是周期群又不是无扭群的群称为混合群

定理1¶

有限群中的每个元素的阶均有限

证明：设G为n阶有限群，任取$a\in G$，则$a,a^2,\dots,a^n,a^{n+1}$中必有相等的。设$a^s=a^t(1≤t<s≤n+1)$，则$a^{s-t}=e$，从而a的阶有限

无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，甚至每个元素的阶都有限

例：设$U_i$（i是正整数）是全体i次单位根对普通乘法作成的群，即i次单位根群。现在令

\[U=\bigcup_{i=1}^{\infty}U_i\]

则由于m次单位根与一个n次单位根的乘积必定是mn次单位根，故$U$对普通乘法作成群，且是一个无限可交换群

定理2¶

设群G中的元素的阶是n，则

\[a^m=e\Leftrightarrow n|m\]

证明：设$a^m=e$，并令$m=nq+r$，$0≤r<n$，由上式可得：

\[e=a^m=a^{nq+r}=(a^n)^qa^r=a^r\]

但是因为$|a|=n$不存在更小的正整数使得$a^r=e$，所以$r=0$，也得$n|m$

反之，若$n|m$，令$m=nq$，因a的阶为n，则有

\[a^m=a^{nq}=(a^n)^q=e\]

总结：群G中有元素a，有

\[|a|=n\Leftrightarrow a^n=e并且当a^m=e\Leftrightarrow n|m\]

定理3¶

若群中元素a的阶是n，则

\[|a^k|=\frac{n}{(k,n)}\]

其中k为任意整数，$(k,n)$为k与n的正的最公因数

证明：设$(k,n)=d$，有$n=dn_1,k=dk_1$，$(n_1,k_1)=1$，则由于$|a|=n$，有

\[(a^k)^{n_1}=a^{kn_1}=a^{k_1n}=(a^{n})^{k_1}=e\]

推论1：若群中$|a|=st$，则$|a^s|=t$，其中s，t是正整数

推论2：若群中$|a|=n$，则$|a^k|=n\Leftrightarrow (k,n)=1$

定理4¶

群中a的阶为m，b的阶为n，当$ab=ba$，且$(m,n)=1$时，有$|ab|=mn$，即：

\[|ab|=|a|\cdot|b|\]

证明：由已知条件$(ab)^{mn}=a^{mn}b^{mn}=e$

其次，若有正整数s使得$(ab)^s=e$，则有

\[e=(ab)^{sm}=(a^m)^sb^{sm}=b^{sm}\]

又因为$|b|=n$所以$n|sm$，又因为$(m,n)=1$，所以$n|s$，同理有$m|s$，所以$mn|s$，得$|ab|=mn$，即$|ab|=|a|\cdot|b|$

$ab=ba$这个条件不可或缺，如在有理数域的二阶线性群$GL_2(Q)$，有

$a=(\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix})\quad b=(\begin{matrix}0&1\\-1&-1\end{matrix})$

两个元素阶均有限，分别为4,3，但是乘积$ab=(\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix})的阶无限$

定理5¶

设G为交换群，且G中所有元素有最大阶m，则G总每个元素必然是m的因数，从而G中每个元素均满足方程$x^m=e$

证明：(借助Zsigmondy定理)

子群¶

定义1¶

设G是一个群，H是G的一个非空子集，如果H本身对G的乘法也做成一个群，则称H为群G的一个子群

如果|G|>1，则群G至少有两个子群，一个只由单位元e做成的子群{e}，另一个是G本身。这两个子群称为群G的平凡子群。别的子群，如果存在的话，叫做G的非平凡子群或者真子群

\[H≤G\quad H<G\]

如正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群，正实数乘群是非零实数乘群的子群

定理1¶

设G是群，$H≤G$。则子群H的单位元就是群G的单位元，H中元素a在H中的逆元就是a在群G中的逆元

证明：设e'是H中的单位元，e是G中的单位元，则

\[e'e'=e'=ee'\]

由消去律得到$e'=e$

同样若a'是a在H中的逆元，$a^{-1}$是a在G中的逆元，则

\[a'a=e=a^{-1}a\]

在群中由消去律得到$a'=a^{-1}$

定理2¶

群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是

$a,b\in H\Rightarrow ab\in M$
$a\in M\Rightarrow a^{-1}\in M$

定理3¶

群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是

\[a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H\]

这个充要条件也可以改写成$a,b\in H\Rightarrow a^{-1}b\in H$
群G的有限子集H作成子群的充要条件是，H对G的乘法封闭，即：
$a,b\in H\Rightarrow ab\in H$
利用了有限半群成群的充要条件

例：令H为数域F上行列式等于1的全体n阶方阵作成的集合，由于

\[|A|=|B|=1\Rightarrow|AB^{-1}|=1\]

有$A,B\in H$，有$AB^{-1}\in H$，由定理2可知H作成数域F上的一般线性群$GL_n(F)$的一个子群，这个子群常记作$SL_n(F)$并称为F上的特殊线性群

定义2¶

令G是一个群，G中元素a如果同G中的每个元素可换，则称a是群G的一个中心元素

群G的单位元e总是群G的中心元素，除了e之外可能还有其他中心元素。若群G的中心元素只有e，则称G为无中心群

交换群的每个元素都是中心元素

$GL_n(F)$除去单位元还有别的中心元素（如纯量矩阵）

纯量矩阵是指对角线上的元素都相等，而非对角线上的元素都为零的矩阵

定理4¶

群G的中心元素作成的集合$C(G)$是G的一个子群，称为群G的中心

证明：因为$e\in C(G)$，所以$C(G)$非空，对于$\forall a,b\in C(G)$，对于群G中任意的元素x都有

\[ax=xa\quad bx=xb\]

由此

\[(ab)x=x(ab)\quad a^{-1}x=xa^{-1}\]

群G的中心明显是群G的一个交换子群，并且显然有G是交换群当且仅当$C(G)=G$

定义3¶

设A，B是群G的任意两个非空子集，规定

\[AB=\{ab|a\in A,b\in B\}\]

\[A^{-1}=\{a^{-1}|a\in A\}\]

分别称AB为A与B的乘积，$A^{-1}为A的逆$

由此可得对群的任意三个非空子集A，B，C均有

\[(AB)C=A(BC)\quad A(B\cup C)=(AB)\cup(AC)\]

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]

\[(A^{-1})^{-1}=A\]

推论1¶

设H是群G的一个非空子集，则

\[H≤G\Leftrightarrow HH=H\quad \& \quad H^{-1}=H\]

推论2¶

设H是G的一个非空子集，则

\[H≤G\Leftrightarrow HH^{-1}=H\]

特别地，若H是G的一个非空有限子集，则

\[H≤G\Leftrightarrow HH=H\]

定理5¶

设H，K是群G的两个子群，则

\[HK≤G\Leftrightarrow HK=KH\]