群同态与同构

定理1

设G是一个群，\(\bar{G}\)是一个有代数运算的集合，如果\(G\cong\bar{G}\)，则\(\bar{G}\)也是一个群

证明：首先\(\bar{G}\)满足结合律，其次检查单位元和逆元

设e是群G的单位元，\(\bar{a}是\bar{G}\)的一个元素，又设\(\phi\)是G到\(\bar{G}\)的满同态，且在\(\phi\)之下

\(e\to\bar{e},a\to\bar{a}\)

有\(ea\to\bar{e}\cdot\bar{a}\)

但是\(ea=a\)，故\(\bar{e}\cdot\bar{a}=\bar{a}\)，即\(\bar{e}是\bar{G}\)的单位元

该定理中的同态映射\(\phi\)必须为满射，反例：设G为正有理数乘群，\(\bar{G}\)是全体正偶数对\(a\circ b=2\)做成的半群

有\(\phi:x\to 2(\forall x\in G)\)

易得该映射为同态映射，G是群，但是\(\bar{G}\)不是群

推论

设\(\phi\)是群G到群\(\bar{G}\)的一个同态映射（不一定是满射）。则群G的单位元的像是群\(\bar{G}\)的单位元，G的元素a的逆元的像是a的像的逆元

定理2

设\(\phi\)是群\(G\)到群\(\bar{G}\)的一个同态映射（不一定是满射），则

• 当\(H≤G\)时，有\(\phi(H)≤\bar{G}，且H-\phi(H)\)
• 当\(H≤G\)时，有\(\phi^{-1}(\bar{H})，且在\phi之下诱导出\phi^{-1}(\bar{H})道\bar{H}\)的一个同态映射

定理3

群G到群\(\bar{G}\)的同态映射\(\phi\)是单射的充分必要条件是，群\(\bar{G}\)的单位元\(\bar{e}\)的逆像只有e