群同态基本定理

定理1

设N是群G的任意正规子群，则

\[G\sim G/N\]

即任何群都和其商群同态

同态核Ker

设\(\phi\)是群\(G\)到群\(\bar{G}\)的一个同态映射，\(\bar{G}\)的单位元在\(\phi\)之下所有逆像作成的集合，叫做\(\phi\)的核，记为\(Ker \phi\)，群G中所有元在\(\phi\)之下的像作成的集合\(\phi(G)\)，称为\(\phi\)的像集，记为\(\text{Im} \phi\)

定理2（群同态基本定理）

设\(\phi\)是群\(G\)到群\(\bar{G}\)的一个同态满射，则\(N=\text{ker}\phi\triangleleft G\)，且

\[G/N\cong \bar{G}\]

每个群能且只能同它的商群同态（同构意义下）

推论1

设\(G\)和\(\bar{G}\)是两个有限群，如果\(G\sim \bar{G}\)，则\(|\bar{G}| | |G|\)

定理3

设\(G\)与\(\bar{G}\)是两个群\(G\sim \bar{G}\)。若G是循环群，则\(\bar{G}\)也是一个循环群

同态满射下，循环群的生成元的像也是生成元

推论2

循环群的商群也是循环群

定理4

设\(\phi\)是群G到群\(\bar{G}\)的一个同态满射，核是K，则G包含K的所有子群与\(\bar{G}\)的所有子群间可以建立一个保持包含关系的双射