群的同构定理
群的同构定理¶
定理1（第一同构定理）¶
设\(\phi\)是群G到群\(\bar{G}\)的一个同态满射，又\(Ker \phi\subseteq N \trianglelefteq G,\bar{N}=\phi(N)\)，则
\[G/N\cong \bar{G}/\bar{N}\]
推论¶
设H，N是群G的两个正规子群，且\(N\subseteq H\)，则
\[G/H\cong G/N/H/N\]
定理2（第二同构定理）¶
设G是群，又\(H≤G,N\trianglelefteq G\)，则\(H\cap N\triangleleft H\)，且
\[HN/N\cong H/(H\cap N)\]
证明：首先\(HN≤G，\)且\(N\trianglelefteq HN\)，易知
\[\phi: x\to xN(\forall x\in H)\quad (H\to HN/N)\]
是一个同态满射，且同态核为\(H\cap N\)，由群同态基本定理有\(H\cap N \trianglelefteq H\)且
\[HN/N\cong H/(H\cap N)\]
定理3（第三同构定理）¶
设G是群，又\(N\trianglelefteq G\)，\(\bar{H}≤G/N\)，则
- 存在G的唯一子群\(N\subseteq H\)，且\(\bar{H}=H/N\)
- 又当\(\bar{H}\trianglelefteq G/N\)时，有唯一的\(H\trianglelefteq G\)使得
\[\bar{H}=H/N 且 G/N\cong G/N/H/N\]
群的自同构群¶
定理1¶
设M是一个有代数运算的代数系统，则M的全体自同构群关于变换的乘法作成一个群G，称为M的自同构群
证明：封闭性
\(\forall \sigma,\tau\in G\)，\(\forall a,b\in M\)，有\(\sigma\tau(ab)=\sigma[\tau(ab)]=\sigma[\tau(a)\tau(b)]=\sigma\tau(a)\cdot \sigma\tau(b)\)
逆元存在性
\(\forall x\in M\)有\(\sigma\sigma^{-1}(x)=\sigma^{-1}\sigma(x)=x\)
推论1¶
群G的全体自同构关于变换乘法作成一个群，这个群称为群G的自同构群，记为\(AutG\)