除环和域

定义¶

设R是一个环，如果\(|R|>1\)，又R有单位元并且每个非零元都有逆元，则称R是一个除环

可换除环称之为域

除环和域没有零因子

证明：设R是一个除环，\(a\in R\quad ab=0\)

有\(b=a^{-1}(ab)=0\)，矛盾！

除环和域的特征只能是素数或者无限

阶数大于1的有限环若有非零非零因子元素，则该有限环有单位元；并且每个非零非零因子元素都是可逆元

推论：阶大于1的有限环R若无零因子，则必为除环。

若R是环且\(|R|>1\)，则R是除环当且仅当R中任意元素\(a\neq 0,b\)方程

\[ax=b\quad (ya=b)\]

在R中有解

设R是一个整环，K是包含R的子环的一个域。则

\[F=\{\frac{b}{a}=a^{-1}b|0\neq a,b\in R\}\]

作成K的包含R为其子环的子域