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陪集、指数和Lagrange定理

陪集

定义1

设\(H\)是群\(G\)的一个子群，\(a\in G\)，则称群G的子集

\[aH=\{ax|x\in H\}\]

为群G关于子群H的一个左陪集，而称

\[Ha=\{xa|x\in H\}\]

为群G关于子群H的一个右陪集

左陪集和右陪集一般不相等，特别地，当群G为交换群的时候他们相等

左陪集性质

  1. \(a\in aH\)
  2. \(a\in H\Leftrightarrow aH = H\)
  3. \(b\in aH\Leftrightarrow aH=bH\)
  4. \(aH=bH\Leftrightarrow a^{-1}b\in H（或b^{-1}a\in H）\)
  5. 若\(aH\cap bH\neq \Phi，则aH=bH\)

根据性质5，不难得出群G的所有左陪集可以构成群G的一个分类，其两个元素属于同一个类当且仅当\(a^{-1}b\in H\)

若aH,bH,...为群G关于子群H的所有不同左陪集，则有

\[G=aH\cup bH\cup cH\cup \dots\]

称其为群G关于子群H的左陪集分解，称\(\{a,b,c,\dots\}\)是G关于子群H的一个左陪集代表系

定理1

设H是群G的一个子群，又令

\[L=\{aH|a\in G\}\quad R=\{Ha|a\in G\}\]

则L和R之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数或者都为无限或者都有限且个数相等

存在一个双射\(\phi:aH\to Ha^{-1}\)

单射：若Ha=Hb，则\(ba^{-1}\in H\)，从而\((b^{-1})^{-1}a^{-1}\in H\)，故有\(a^{-1}H=b^{-1}H\)

满射：对任意\(Ha\in R\)，总存在\(a^{-1}\in G\)是的\(\phi(a^{-1}H)=Ha\)

定义2

群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数叫做H在G里的指数，记作

\[(G:H)\]

例如\((S_3:H)=3\)，当然，指数可能无限也有可能有限

Lagrange定理

设H是G的一个子群，则

\[|G|=|H|(G:H),\quad 即(G:H)=\frac{|G|}{|H|}\]

任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数

证明：令\((G:H)=s\)，且

\[G=a_1H\cup a_2H\cup\dots\cup a_s H\]

是G关于子群H的左陪集分解。由于

\[\phi:a_1h\to a_jh(\forall h\in M)\]

是左陪集\(a_iH\)到\(a_jH\)的一个双射??，从而\(|a_iH|=|a_jH|\)

推论1

有限群中每个元素的的阶都整除群的阶

注：素数阶群必为循环群

定理3

设G是一个有限群，又K≤H≤G ，则

\[(G:K)(H:K)=(G:K)\]

证明：由Lagrange定理，\(|G|=|H|(G:H)=|K|(G:K)\)，而\(|H|=|K|(H:K)\)，可得结论成立

定理4

设H，K是群G的两个有限子群

\[|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}\]

证明：

设\(H\cap K≤H，设\frac{|H|}{|H\cap K|}=m\)，且

\[H=h_1(H\cap K)\cup h_2(H\cap K)\cup\dots \cup h_m(H\cap K)\]

右乘\(K\)有\(HK=h_1K\cup h_2K\cup\dots \cup h_mK\)

证明 \((H \cap K)K \subseteq K\)：

任取 \(x \in (H \cap K)K\)，则存在 \(h \in H \cap K\) 和 \(k \in K\) 使得 \(x = hk\)。

因为 \(H \cap K\) 是 \(H\) 和 \(K\) 的交集，所以 \(h \in K\)。

既然 \(h\) 和 \(k\) 都属于 \(K\)，而 \(K\) 是一个子群，根据子群的封闭性质，\(hk \in K\)。因此，\(x \in K\)。这说明 \((H \cap K)K \subseteq K\)。

证明 \(K \subseteq (H \cap K)K\)： 任取 \(k \in K\)。

注意到单位元 \(e \in H \cap K\)（因为 \(e\) 是群 \(G\) 的单位元，同时属于所有子群）。

所以我们可以写 \(k = ek\)，其中 \(e \in H \cap K\) 且 \(k \in K\)。

这表明 \(k \in (H \cap K)K\)。因此，\(K \subseteq (H \cap K)K\)。

又因为\(h_iK\cap h_jK=\Phi,i\neq j\)

从而\(|HK|=m|K|\)

推论

设p,q是两个素数且p<q，则pq阶群G最多有一个q阶子群