PnP

SCI问题数学形式

考虑B帧的视频\(X\in R^{n_x\times n_y\times B}\)，根据掩码\(C\in R^{n_x\times n_y\times B}\)被调制为\(Y\in R^{n_x\times n_y}\)

可以被表示为

\[Y=\sum_{b=1}^B C_b \odot X_b + Z\]

其中C位掩码，X为B帧视频，z为噪声，亦可表达为

\[y=Hx+z\]

其中\(y=\text{Vec}(Y)\in R^{n_xn_y}\)，\(z=\text{Vec}(Z)\in R^{n_xn_y}\)

\[x=\text{Vec}(X)=[\text{Vec}(X_1)^T,\text{Vec}(X_2)^T,\cdots,\text{Vec}(X_B)^T]^T\]

H为稀疏传感矩阵，\(H\in R^{n_xn_y\times n_xn_yB}\)，是对角矩阵的串联

\[H=[D_1\cdots, D_B]\]

其中\(D_b = \text{diag}(\text{Vec}(C_b))\in R^{n_xn_y\times n_xn_y}\)

对于彩色视频，常用的拜耳模式传感器捕获数据具有RGGB通道，首先需要分别恢复4个通道，然后在重建的视频中demosaic

PnP-ADMM

SCI反演问题可以建模为

\[\hat{x}=\argmin_{x} f(x)+\lambda g(x)\]

f(x)为损失函数，即\(||y-Hx||^2_2\)，g(x)为正则项，即\(||x||_1\leq 1\)

回顾PnP-ADMM

使用ADMM框架，引入辅助参数v，将无约束优化转化为

\[(\hat{x},\hat{v})=\argmin_{x,v} f(x)+\lambda g(v)\quad x=v\]

最小化问题可以通过求解如下子问题解决

\[\begin{align} x^{(k+1)}=\argmin_{x} f(x)+ \frac{\rho}{2}||x-(v^{(k)}-\frac{1}{\rho}u^{(k)})||^2_2\\ v^{(k+1)}=\argmin_{v} \lambda g(v)+\frac{\rho}{2}||v-(x^{(k)}+\frac{1}{\rho}u^{(k)})||^2_2\\ u^{(k+1)} = u^{(k)} + ρ(x^{(k+1)} − v^{(k+1)}), \end{align}\]

f(x)通常为二次形式，式1会有多解，在PnP-ADMM中，式2会被现成的去噪算法替代，得到:\(v^{(k+1)}=D_\sigma (x^{(k)}+\frac{1}{\rho}u^{(k)})\)

\(D_\sigma\)表示降噪器，\(\sigma\)表示假设的高斯白噪声标准偏差

在Plugand-play ADMM for image restoration: Fixed-point convergence and applications中作者提出，使用\(\rho_{k+1}=\gamma_k\rho_k\)更新迭代\(\rho\)，并且为降噪器设置\(\sigma_k=\sqrt{\lambda/\rho_k}\)。这样可定义一个有界去噪器，并且可证明PnP-ADMM不动点收敛

有界去噪器

令有界去噪器\(D_\sigma\)是一个函数，对于任何输入\(x\in R^n\)，有

\[\frac{1}{n}||D_\sigma(x)-x||^2_2\leq \sigma^2 C\]

C为某一常数

PnP-ADMM for SCI

PnP-ADMM算法的目标函数f(x)为

\[f(x)=\frac{1}{2} ||y-H x||^2_2\]

所有像素都被正则化至[0,1]区间

引理1

SCI中，损失函数f(x)具有有界梯度，即\(||\nabla f(x)||_2\leq B||x||_2\)